已知数列an中,a1=1an+1=an/an+3,(n属于N)求数列an的通项公式;

Question

已知数列an中,a1=1 an+1=an/an+3,(n属于N)求数列an的通项公式;

Answer 1

a(n+1)=an/(an+3)
1/a(n+1)=(an+3)/an=3/an +1
1/a(n+1)+ 1/2=3/an+ 3/2
[1/a(n+1)+ 1/2]/(1/an +1/2)=3,为定值.
1/a1 +1/2=1/1+1/2=3/2
数列{1/an +1/2}是以3/2为首项,3为公比的等比数列.
1/an +1/2=(3/2)×3^(n-1)=3ⁿ/2
1/an=(3ⁿ-1)/2
an=2/(3ⁿ-1)
n=1时,a1=2/(3-1)=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2/(3ⁿ-1).