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已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.求证:(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1.
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8773912b31bb051a9ad3099357adab44bede0f2.jpg)
求证:
(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;
(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BB1的中点,
所以,F为C1N的中点,B为CN的中点.又M是线段AC1的中点,
故MF∥AN.又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
(Ⅱ)连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ,
可知A1A⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,
AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形,
故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,又因为NA⊂平面AFC1,
∴平面AFC1⊥ACC1A1.
证明:(Ⅰ)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BB1的中点,
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故MF∥AN.又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
(Ⅱ)连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ,
可知A1A⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,
AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形,
故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,又因为NA⊂平面AFC1,
∴平面AFC1⊥ACC1A1.
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