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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是棱BC的中点.求证:(1)AD⊥C1D;(2)A1B∥平面ADC1.
题目详情
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是棱BC的中点.
求证:(1)AD⊥C1D;
(2)A1B∥平面ADC1.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f11f3a292df5e0fe81bec1b25f6034a85fdf72da.jpg)
求证:(1)AD⊥C1D;
(2)A1B∥平面ADC1.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f11f3a292df5e0fe81bec1b25f6034a85fdf72da.jpg)
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以C1C⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
所以C1C⊥AD,又点D是棱BC的中点,且△ABC为正三角形,
所以AD⊥BC,因为BC∩C1C=C,所以AD⊥平面BCC1B1,
又因为DC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥C1D;(6分)
(2)连接A1C交AC1于点E,再连接DE.
因为四边形A1ACC1为矩形,所以E为A1C的中点,
又因为D为BC的中点,所以ED∥A1B.
又A1B⊄平面ADC1,ED⊂平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(14分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a63f6246b600c334e97967b194c510fd8f9a193.jpg)
所以C1C⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
所以C1C⊥AD,又点D是棱BC的中点,且△ABC为正三角形,
所以AD⊥BC,因为BC∩C1C=C,所以AD⊥平面BCC1B1,
又因为DC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥C1D;(6分)
(2)连接A1C交AC1于点E,再连接DE.
因为四边形A1ACC1为矩形,所以E为A1C的中点,
又因为D为BC的中点,所以ED∥A1B.
又A1B⊄平面ADC1,ED⊂平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(14分)
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