设集合A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，其中ai∈Z，1≤i≤5，且满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a1+a4=10，A∩B={a1，a4}，A∪B中所有元素之和为224，则集合A=．

Question

设集合A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，其中a_i∈Z，1≤i≤5，且满足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，a₁+a₄=10，A∩B={a₁，a₄}，A∪B中所有元素之和为224，则集合A=______．

Answer 1

∵a₁+a₄=10，A∩B={a₁，a₄}，∴两个完全平方数的和为10，即a₁=1，a₄=9．
∵A∪B中所有元素之和为224，
∴a2+a3+a5+

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+

a

2 4

+

a

2 5

＝224，
而

a

2 1

+

a

2 4

＝82，
∴a2+a3+a5+

a

2 2

+

a

2 3

+

a

2 5

＝142，
∵a₄=9＜a₅，若a₅=11，则a2+a3+

a

2 2

+

a

2 3

＝10，不可能．
∴a₅=10，a2+a3+

a

2 2

+

a

2 3

＝32，
若

a

2 3

＝a4＝9，得a2+

a

2 2

＝20，
∴a₂=4＞a₃矛盾，从而a₂=3，a₃=4，
即A={1，3，4，9，10}．