七年级数学有点难哦1用数学归纳法,证明对於n=1,2,3...以下等式成立:(i)1^2+2^2+.+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)(ii)用(i)的结果,求)1*2+2*3+...+n(n+1)2(i)以极式r(cosθ+isinθ)表示(1+i根号3)/(1-i根号3),其中i=根号-1.

Question

七年级数学有点难哦
1 用数学归纳法, 证明对於n=1,2,3... 以下等式成立:
(i) 1^2+2^2+.+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
(ii) 用(i)的结果, 求)1*2+2*3+...+n(n+1)
2(i) 以极式r(cosθ+isinθ)表示(1+i根号3)/(1-i根号3),其中i=根号-1.
(ii) 若[(1+i根号3)/(1-i根号3)]^2006=a+ib, 其中a和b为实数, 求a和b的值.
实在很难,所以麻烦详细说明~~

Answer 1

1证明：
（i）
1、当n=1时,公式显然成立.
2、假设n=k时,公式成立,即1^2+2^2+.+k^2=1/6k(k+1)(2k+1)
那么当n=k+l时,1^2+2^2+.+k^2+(k+1)^2=1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2=
1/6(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1),公式也成立
综上,（i）公式成立.
(Ⅱ)
原式
=1*（1+1）+2*（2+1）+3*（3+1）+……+n(n+1) 将括号展开
=1^2+2^2+.+n^2 + 1+2+3+...+n
=1/6n(n+1)(2n+1）+1/2n（n+1）简单合并一下就哦了
2.
i)
（1+i√3）/(1-i√3)=-1/2+i√3/2=cos5π/6+isin5π/6
ii)
(（1+i√3）/(1-i√3))^2006
=(cos5π/6+isin5π/6)^2006
=(e^(i*5π/6))^2006 欧拉公式
=e^(i*2006*5π/6)
=cos(2006*5π/6)+isin(2006*5π/6) 欧拉公式逆过程
=cos(-π/3)+isin(-π/3)
=1/2+i(-√3/2)
∴a=1/2 b=-√3/2
附录：欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ