已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥CB，D为AB中点，A1A=AC=3，CB=1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求三棱锥C1-A1DC的体积．

Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥CB，D为AB中点，A₁A=AC=√(3)，CB=1．

（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求三棱锥C₁-A₁DC的体积．

Answer 1

（1）证明：连接AC₁∩A₁C=O，连接DO，则O和D分别为AC₁和AB的中点，
∴DO∥BC₁，而DO⊂面A₁DC，BC₁⊈面A₁DC，
∴BC₁∥面A₁DC．
（2）∵BC₁∥面A₁DC，∴C₁和B到平面A₁DC的距离相等，
从而有V三棱锥C1−A1DC＝V三棱锥A1−BDC
=(1)/(3)S△BDC•AA1＝(1)/(3)×(1)/(2)S△ABC•AA1，
=(1)/(6)×(1)/(2)AC•BC•AA1＝(1)/(6)×(1)/(2)×√(3)×1×√(3)＝(1)/(4)．