a1=1an+1an+an+1=an数列bn=lnan证明'数列｛1/an｝是等差数列并出an

Question

a1=1 an+1an+an+1=an数列 bn=lnan 证明'数列｛1/an｝是等差数列 并
出an

Answer 1

a1=1>0
假设当n=k(k∈N+)时,ak>0
a(k+1)ak+a(k+1)=ak
(ak +1)a(k+1)=ak
a(k+1)=ak/(ak +1)
ak>0 ak+1>1>0 ak/(ak +1)>0
a(k+1)>0
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,an恒>0
a(n+1)an+a(n+1)=an
等式两边同除以a(n+1)an /判断an>0,等式两边才能同时除以a(n+1)an
1+1/an=1/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=1,为定值
1/a1=1/1=1,数列{1/an}是以1为首项,1为公差的等差数列
1/an =1+1×(n-1)=n
an=1/n
n=1时,a1=1/1=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=1/n