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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
题目详情
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,
∵ABC-A1B1C1为棱柱,
∴AC∥A1C1,
∴DE∥A1C1,
∵A1C1⊂平面A1C1F,且DE⊄平面A1C1F,
∴DE∥A1C1F;
(2)∵ABC-A1B1C1为直棱柱,
∴AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1C1,
又∵A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1、A1B1⊂平面AA1B1B,
∴A1C1⊥平面AA1B1B,
∵DE∥A1C1,
∴DE⊥平面AA1B1B,
又∵A1F⊂平面AA1B1B,
∴DE⊥A1F,
又∵A1F⊥B1D,DE∩B1D=D,且DE、B1D⊂平面B1DE,
∴A1F⊥平面B1DE,
又∵A1F⊂平面A1C1F,
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,
∵ABC-A1B1C1为棱柱,
∴AC∥A1C1,
∴DE∥A1C1,
∵A1C1⊂平面A1C1F,且DE⊄平面A1C1F,
∴DE∥A1C1F;
(2)∵ABC-A1B1C1为直棱柱,
∴AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1C1,
又∵A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1、A1B1⊂平面AA1B1B,
∴A1C1⊥平面AA1B1B,
∵DE∥A1C1,
∴DE⊥平面AA1B1B,
又∵A1F⊂平面AA1B1B,
∴DE⊥A1F,
又∵A1F⊥B1D,DE∩B1D=D,且DE、B1D⊂平面B1DE,
∴A1F⊥平面B1DE,
又∵A1F⊂平面A1C1F,
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
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