已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为．

Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，则2a₈+a₇的最小值为______．

Answer 1

由题意知等比数列{a_n}中a_n＞0，则公比q＞0，
∵2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，∴2a₁•q³+a₁•q²-2a₁q-a₁=8，
即a₁（2q³+q²-2q-1）=8，则a₁（2q+1）（q²-1）=8，
则a₁（2q+1）=(8)/(q2−1)，
∴2a₈+a₇=a₁（2q+1）•q⁶=(8)/(q2−1)×q⁶=(8)/((1)/(q4)−(1)/(q6))，
设x=(1)/(q2)，则x＞0，设y=(1)/(q4)−(1)/(q6)=x²-x³，
则y′=2x-3x²=x（2-3x），令y=0得，x=0或(2)/(3)，
当0＜x＜(2)/(3)时，y′＞0；当x＞(2)/(3)时，y′＜0，
∴函数y=x²-x³在（0，(2)/(3)）上递增，在（(2)/(3)，+∞）上递减，
∴当x=(2)/(3)时，函数y取到最大值是((2)/(3))2−((2)/(3))3=(4)/(27)，
则(8)/((1)/(q4)−(1)/(q6))取到最小值是8×(27)/(4)=54，
即2a₈+a₇的最小值为54，
故答案为：54．