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已知各项均为正数的等比数列{an},若2a4+a3-2a2-a1=8,则2a8+a7的最小值为.
题目详情
已知各项均为正数的等比数列{an},若2a4+a3-2a2-a1=8,则2a8+a7的最小值为______.
▼优质解答
答案和解析
由题意知等比数列{an}中an>0,则公比q>0,
∵2a4+a3-2a2-a1=8,∴2a1•q3+a1•q2-2a1q-a1=8,
即a1(2q3+q2-2q-1)=8,则a1(2q+1)(q2-1)=8,
则a1(2q+1)=
,
∴2a8+a7=a1(2q+1)•q6=
×q6=
,
设x=
,则x>0,设y=
−
=x2-x3,
则y′=2x-3x2=x(2-3x),令y=0得,x=0或
,
当0<x<
时,y′>0;当x>
时,y′<0,
∴函数y=x2-x3在(0,
)上递增,在(
,+∞)上递减,
∴当x=
时,函数y取到最大值是(
)2−(
)3=
,
则
取到最小值是8×
=54,
即2a8+a7的最小值为54,
故答案为:54.
∵2a4+a3-2a2-a1=8,∴2a1•q3+a1•q2-2a1q-a1=8,
即a1(2q3+q2-2q-1)=8,则a1(2q+1)(q2-1)=8,
则a1(2q+1)=
8 |
q2−1 |
∴2a8+a7=a1(2q+1)•q6=
8 |
q2−1 |
8 | ||||
|
设x=
1 |
q2 |
1 |
q4 |
1 |
q6 |
则y′=2x-3x2=x(2-3x),令y=0得,x=0或
2 |
3 |
当0<x<
2 |
3 |
2 |
3 |
∴函数y=x2-x3在(0,
2 |
3 |
2 |
3 |
∴当x=
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
27 |
则
8 | ||||
|
27 |
4 |
即2a8+a7的最小值为54,
故答案为:54.
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