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如图所示,三棱锥ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B‖平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证：平面A1BD1‖平面AC1D
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如图所示,三棱锥ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B‖平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证：平面A1BD1‖平面AC1D
▼优质解答
答案和解析
【证明】 连接A1C交AC1于点E,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴E是A1C的中点,连接ED,
∵A1B‖平面AC1D,
平面A1BC∩平面AC1D＝ED,
∴A1B‖ED.
∵E是A1C的中点,∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点,
∴在三棱柱ABC－A1B1C1中,BD1‖C1D,A1D1‖AD,
又A1D1∩BD1＝D1,AD∩C1D＝D,
∴平面A1BD1‖平面AC1D
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴E是A1C的中点,连接ED,
∵A1B‖平面AC1D,
平面A1BC∩平面AC1D＝ED,
∴A1B‖ED.
∵E是A1C的中点,∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点,
∴在三棱柱ABC－A1B1C1中,BD1‖C1D,A1D1‖AD,
又A1D1∩BD1＝D1,AD∩C1D＝D,
∴平面A1BD1‖平面AC1D
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