设数列a0a1a2a3……是公差不为0的等差数列,证明对任意的正整数n,函数p(x)=a0Cn0(1-x)^n+a1Cn1x(1-x)^n-1+a2Cn2x^2+……+anCnnx^n是关于x的一次函数

Question

设数列a0 a1a2a3……是公差不为0的等差数列,证明对任意的正整数n,函数p(x)=a0 Cn0 (1-x)^n + a1 Cn1 x (1-x)^n-1 +a2 Cn2 x^2 + ……+an Cnn x^n 是关于x的一次函数

Answer 1

设 a_k = a + kd,其中 d 是公差不等于 0.
p(x) = Σ_{k从0到n} a_k C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)
= Σ_{k从0到n} (a + kd) C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)
= a Σ_{k从0到n} C(n,k) x^k (1-x)^(n-k) + d Σ_{k从0到n} k C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)
根据二项式定理：Σ_{k从0到n} C(n,k) x^k (1-x)^(n-k) = (x + (1-x))^n = 1
因为 k C(n,k) = n C(n-1,k-1),所以
Σ_{k从0到n} k C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)
= Σ_{k从1到n} k C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)
= Σ_{k从1到n} n C(n-1,k-1) x^k (1-x)^(n-k)
= n x Σ_{k从1到n} C(n-1,k-1) x^(k-1) (1-x)^(n-k)
= n x Σ_{h从0到n-1} C(n-1,h) x^h (1-x)^(n-1-h) (这一步是变量代换：h=k-1)
= n x
最后一步又是用二项式定理.
所以,代入后：p(x) = a + d(nx) = a_0 + (a_1 - a_0) n x
一次函数.