已知点M是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为433（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设N（0，2），过点p（-1，-2）作直线l，交椭圆C

Question

已知点M是椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别为C的左、右焦点，|F₁F₂|=4，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面积为(4√(3))/(3)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设N（0，2），过点p（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁+k₂为定值．

Answer 1

（I）在△F₁MF₂中，由(1)/(2)|MF₁||MF₂|sin60°=(4√(3))/(3)，得|MF₁||MF₂|=(16)/(3)．
由余弦定理，得|F1F2|2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos60°=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁||MF₂|（1+cos60°）
又∵|F₁F₂|=2c=4，|MF₁|+|MF₂|=2a
故16=4a²-16，
解得a²=8，故b²=a²-c²=4
故椭圆C的方程为(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1）
由

(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1

y+2＝k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=−(4k(k−2))/(1+2k2)，x₁x₂=(2k2−8k)/(1+2k2)，
从而k₁+k₂=(y1−2)/(x1)+(y2−2)/(x2)=

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