已知数列{an}的首项a1=a，前n项和为Sn，且-a2，Sn，2an+1成等差数列．（Ⅰ）试判断数列{an}是否成等比数列，并说明理由；（Ⅱ）若a5=32，设bn=log2（a1a2…an），试求1b1+1b2+…+1bn的值．

Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列．
（Ⅰ）试判断数列{a_n}是否成等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若a₅=32，设b_n=log₂（a₁a₂…a_n），试求(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的首项a₁=a，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，
两式相减，得2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴当n≥2时，a_n+1=2a_n，
又当n=1时，2a₁=-a₂=2a₂，即a₂=2a₁，适合上式．
∴当a₁=a=0时，a_n=0，{a_n}不是等比数列．
当a≠0时，(an+1)/(an)＝2，{a_n}是首项为a，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）∵a₃=32，∴a≠0，此时an＝a×2n−1．
∴32=a×2⁴，解得a=2，∴an＝2n．
b_n=log₂（a₁a₂…a_n）=log2(2×22×…×2n)
=1+2+3+…+n=(n(n+1))/(2)，
∴(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)=(2)/(1×2)+(2)/(2×3)+…+(2)/(n(n+1))
=2（1-(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)）
=2（1-(1)/(n+1)）
=(2n)/(n+1)．