已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=

Question

已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=

Answer 1

以q=1代入,得：
Ap＋A1=A(p＋1)＋1/[p(p＋1)]
Ap＋1=A(p＋1)＋1/[p(p＋1)]
A(p＋1)－Ap=1－1/[p(p＋1)]=1－[(1/p)－1/(p＋1)]
即：
A(n＋1)－An=1－[(1/n)－1/(n＋1)]
则：
A2－A1=1－[(1/1)－(1/2)]
A3－A2=1－[(1/2)－(1/3)]
A4－A3=1－[(1/3)－(1/4)]
…………
An－A(n－1)=1－[1/(n－1)－(1/n)]
上述式子相加,得：
An－A1=(n－1)－[1－(1/n)]
An=(n－1)＋(1/n)
=(n²－n＋1)/(n)