设a1,a2,……an是满足a1-a2/3+a3/5+……(-1)^n-1an/2n-1=0的实数,证明:方程a1cosx+a2cos3x+……+ancos(2n-1)x=0在(0,π/2)内至少有一个根

Question

设a1,a2,……an是满足a1-a2/3+a3/5+……(-1)^n-1 an/2n-1=0的实数,证明:方程a1cosx+a2cos3x+……+ancos(2n-1)x=0在(0,π/2)内至少有一个根

Answer 1

令f(x)=a1sinx+a2sin3x/3++……ansin(2n-1)x/(2n-1)
f(0)=0
f(π/2)=a1-a2/3+……+[(-1)^n-1]an/(2n-1)=0
f'(x)=a1cosx+a2cos3x+……ancos(2n-1)x
又因为f(0)=f(π/2)=0
根据罗尔定理
在(0,π/2)内一定存在一点k,使得f’(k)=0
证毕