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在数列{an}中,已知a1=a2=1,an+an+2=λ+2an+1,n∈N*,λ为常数.(1)证明:a1,a4,a5成等差数列;(2)设cn=2an+2-an,求数列的前n项和Sn;(3)当λ≠0时,数列{an-1}中是否存在三项as+1-1
题目详情
在数列 {an}中,已知 a1=a2=1,an+an+2=λ+2an+1,n∈N*,λ为常数.
(1)证明:a1,a4,a5成等差数列;
(2)设 cn=2an+2-an,求数列 的前n项和 Sn;
(3)当λ≠0时,数列 {an-1}中是否存在三项 as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列?若存在,求出s,t,p的值;若不存在,说明理由.
(1)证明:a1,a4,a5成等差数列;
(2)设 cn=2an+2-an,求数列 的前n项和 Sn;
(3)当λ≠0时,数列 {an-1}中是否存在三项 as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列?若存在,求出s,t,p的值;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵an+an+2=λ+2an+1,a1=a2=1,
∴a3=2a2-a1+λ=λ+1,
同理,a4=2a3-a2+λ=3λ+1,a5=2a4-a3+λ=6λ+1,
又∵a4-a1=3λ,a5-a4=3λ,
∴a4-a1=a5-a4,
故a1,a4,a5成等差数列.
(2)由an+an+2=λ+2an+1,得an+2-an+1=an+1-an+λ,
令bn=an+1-an,则bn+1-bn=λ,b1=a2-a1=0,
∴{bn}是以0为首项,公差为λ的等差数列,
∴bn=b1+(n-1)λ=(n-1)λ,
即an+1-an=(n-1)λ,
∴an+2-an=2(an+1-an)+λ=(2n-1)λ,
∴cn=2an+2-an=2(2n-1)λ.
Sn=c1+c2+…+cn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ
当λ=0时,Sn=n,
当λ≠0时,Sn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ=
.
(3)由(2)知an+1-an=(n-1)λ,
用累加法可求得an=1+
λ(n≥2),
当n=1时也适合,∴an=1+
λ(n∈N*),
假设存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列,
则(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1),即
=
,
∵s,t,p成等比数列,∴t2=sp,
∴(t-1)2=(s-1)(p-1),
化简得s+p=2t,联立 t2=sp,得s=t=p.
这与题设矛盾.
故不存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列.
∴a3=2a2-a1+λ=λ+1,
同理,a4=2a3-a2+λ=3λ+1,a5=2a4-a3+λ=6λ+1,
又∵a4-a1=3λ,a5-a4=3λ,
∴a4-a1=a5-a4,
故a1,a4,a5成等差数列.
(2)由an+an+2=λ+2an+1,得an+2-an+1=an+1-an+λ,
令bn=an+1-an,则bn+1-bn=λ,b1=a2-a1=0,
∴{bn}是以0为首项,公差为λ的等差数列,
∴bn=b1+(n-1)λ=(n-1)λ,
即an+1-an=(n-1)λ,
∴an+2-an=2(an+1-an)+λ=(2n-1)λ,
∴cn=2an+2-an=2(2n-1)λ.
Sn=c1+c2+…+cn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ
当λ=0时,Sn=n,
当λ≠0时,Sn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ=
2λ(1-22nλ) |
1-22λ |
(3)由(2)知an+1-an=(n-1)λ,
用累加法可求得an=1+
(n-1)(n-2) |
2 |
当n=1时也适合,∴an=1+
(n-1)(n-2) |
2 |
假设存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列,
则(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1),即
t2(t-1)2 |
4 |
s(s-1)p(p-1) |
4 |
∵s,t,p成等比数列,∴t2=sp,
∴(t-1)2=(s-1)(p-1),
化简得s+p=2t,联立 t2=sp,得s=t=p.
这与题设矛盾.
故不存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列.
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