有道数列题：a1=1,a2=3an+2=3an+1-2an,求an.我能做出来,但老师讲了另一个方法,有点不明白想问一下我们老师说这道题可用特征方程做,设特征方程为x^2-3x+2=0解得x两个根分别为1、2,则最后的答案

Question

有道数列题：a1=1,a2=3 an+2=3an+1-2an,求an.我能做出来,但老师讲了另一个方法,有点不明白 想问一下
我们老师说这道题可用特征方程做,设特征方程为x^2-3x+2=0 解得x两个根分别为1、2,则最后的答案绝对是这个形式：an=X×1^n+Y×2^n,X、Y是未知数,然后代入a1、a2值,解方程,得出通项公式.

我明白特征方程做法,但不明白为什么可以将an+2,即an的后一项看成x的二次方,将an+1看成x的一次方,将an看成常数项,而不是将它们看成三个未知数?老师说这是大学内容,现在没法解释.有没有哪位高手能解释一下?

Answer 1

特征方程的来历：
遇到诸如 a(n+2)=3a(n+1)-2an 之类的递推公式时,人们总想把它化为等比数列｛a(n+1)-xan｝,
可是有些复杂的等式,不是一眼就能看出 an 前的系数的,因此就用 x 表示（本题中能看出 a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an] ）,
把已知等式化为 a(n+2)-xa(n+1)=3a(n+1)-xa(n+1)-2an
=(3-x)a(n+1)-2an
=(3-x)[a(n+1)-2/(3-x)*an] ,
为了使｛a(n+1)-xan｝是等比数列,就得令 -2/(3-x)= -x ,
这个方程就是 x^2-3x+2=0 .
（解出 x1=1 ,x2=2 后,就可得到两个等式：a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an] ；
a(n+2)-2a(n+1)=a(n+1)-2an ,
利用等比数列,可得 a(n+1)-an=2^n ,a(n+1)-2an=1 ,
两式相减即得 an=2^n-1 ）.