已知a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=1-12bn（n∈N+）．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是递增的等差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-(1)/(2)b_n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）解方程x²-12x+27=0，可得x=3或9，∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是递增的等差数列，∴a₂=3，a₅=9，
设公差为d，则

a1+d＝3

a1+4d＝9

，解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
对于数列{b_n}，S_n=1-(1)/(2)b_n（n∈N⁺）．当n=1时，b1＝1−(1)/(2)b1，解得b₁=(2)/(3)．当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=(1−(1)/(2)bn)-(1−(1)/(2)bn−1)，化为bn＝(1)/(3)bn−1，因此数列{b_n}是等比数列，∴b_n=(2)/(3)×((1)/(3))n−1=(2)/(3n)．（2）c_n=a_nb_n=(2(2n−1))/(3n)=(4n−2)/(3n)，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=(2)/(3)+(6)/(32)+(10)/(33)+…+(4(n−1)−2)/(3n−1)+(4n−2)/(3n)，∴3T_n=2+(6)/(3)+(10)/(32)+…+(4n−2)/(3n−1)，两式相减可得：2T_n=2+(4)/(3)+(4)/(32)+(4)/(3n−1)-(4n−2)/(3n)=(4(1−(1)/(3n)))/(1−(1)/(3))-2-(4n−2)/(3n)=4-(4n+4)/(3n)，∴T_n=2-(2n+2)/(3n)．