设a、b、c、d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c-a=19，求d-b的值．

Question

设a、b、c、d都是正整数，并且a⁵=b⁴，c³=d²，c-a=19，求d-b的值．

Answer 1

由a⁵=b⁴得：a=(b4)/(a4)=((b2)/(a2)) 2，
由c³=d²得：c=(d2)/(c2)=（ (d)/(c)）²；
代入c-a=19得
（ (d)/(c)）²-((b2)/(a2)) 2=19，
（ (d)/(c)+(b2)/(a2)）（ (d)/(c)-(b2)/(a2)）=19，
很明显，前一个括号的值大于后一个括号的，所以则有：
(d)/(c)+(b2)/(a2)=19，(d)/(c)-(b2)/(a2)=1，
上面两式相加，整理得：(d)/(c)=10，即d=10c；
上面两式相减，整理得：(b2)/(a2)=9，即b²=9a²，
解得：b=3a．
因为d=10c，b=3a，a⁵=b⁴，c³=d²，
所以 c³=d²=（10c）²=100c²，
解得c=100，从而d=10c=1000；
由c-a=19，
得a=c-19=100-19=81，
从而b=243．
综上，d-b=1000-243=757．
故d-b的值为757．