已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．

Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，数列{b_n}的公差为d，由题意，q>0，
由已知有

2q2-3d=2

q4-3d=10

，消去d整理得：q⁴-2q²-8=0．
∵q>0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n-1，n∈N^*；
数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有cn=(2n-1)•2n-1，
设{c_n}的前n项和为S_n，则
Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1，
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n，
两式作差得：-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）×2ⁿ=-（2n-3）×2ⁿ-3．
∴Sn=(2n-3)•2n+3，n∈N*．