已知数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6．（I）求数列{an}的通项公式an；（II）若b1+b2+…bk=85，求正整数k的值．

Question

已知数列{a_n}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b_n}的前三项分别是a₁，a₂，a₆．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）若b₁+b₂+…b_k=85，求正整数k的值．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₂，a₆成等比数列，∴a22＝a1a6，
∴（1+d）²=1×（1+5d），化为d²-3d=0，
∵d≠0，∴d=3，∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵等比数列{b_n}的首项为1，公比q=(a2)/(a1)=4，
∴b₁+b₂+…+b_k=1+4+…+4^k-1=(1−4k)/(1−4)=85，化为4^k=256，解得k=4．