在等差数列{an}中，a2+a7=-23，a3+a8=-29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．

Question

在等差数列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d．
依题意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，从而d=-3．
所以 a₂+a₇=2a₁+7d=-23，解得 a₁=-1．
所以数列{a_n}的通项公式为 a_n=-3n+2．
（Ⅱ）由数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，
得 an+bn＝cn−1，即−3n+2+bn＝cn−1，
所以 bn＝3n−2+cn−1．
所以 Sn＝[1+4+7+…+(3n−2)]+(1+c+c2+…+cn−1)
=(n(3n−1))/(2)+(1+c+c2+…+cn−1)．
从而当c=1时，Sn＝(n(3n−1))/(2)+n＝(3n2+n)/(2)；
当c≠1时，Sn＝(n(3n−1))/(2)+(1−cn)/(1−c)．