如图所示，设曲线y＝1x上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线上y＝1x，设An的坐标为（an，0），A0为原点（1）求a1，并求出an和an-1n∈N*之间的关系

Question

如图所示，设曲线y＝(1)/(x)上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上y＝(1)/(x)，设A_n的坐标为（a_n，0），A₀为原点
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之间的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn＝(2)/(an−1+an)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵曲线y＝(1)/(x)上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上y＝(1)/(x)，设A_n的坐标为（a_n，0），A₀为原点，
∴a1＝(a1)/(2)+(2)/(a1)，
解得a₁=2．
过B_n点作B_nH⊥x轴，垂足为H，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴|BnH|=(1)/(2)|An-1An|=(an−an−1)/(2)，
∴B_n点的纵坐标为(an−an−1)/(2)，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴H点为线段A_n-1A_n的中点，
∴H点横坐标为(an+an−1)/(2)，
∵B_nH⊥x轴，∴B_n点的横坐标也为(an+an−1)/(2)，
∵B_n点为函数y=(1)/(2)（x＞0）图象上的点，
∴(an−an−1)/(2)•(an+an−1)/(2)=1
∴an2−an−12=4．
（2）∵an2−an−12=4，a₁=2，
∴数列{an2}是首项为4，公差为4的等差数列，
∴an2＝4n，
∴an＝2√(n)．
（3）∵b_n=(2)/(an−1+an)
=(1)/(√(n)+√(n−1))
=√(n)−√(n−1)，
∴S_n=（√(1)−√(0)）+（√(2)−√(1)）+…+（√(n)−√(n−1)）
=√(n)．