设函数f（x）=a2+asinx+2a2+acosx+2（x∈R）的最大值为M（a），最小值为m（a），则（）A.∀a∈R，M（a）•m（a）=1B.∀a∈R，M（a）+m（a）=2C.∃a0∈R，M（a0）+m（a0）=1D.∃a0∈R，M（a0）•m

Question

设函数f（x）=

(a2+asinx+2)/(a2+acosx+2)（x∈R）的最大值为M（a），最小值为m（a），则（　　）

A. ∀a∈R，M（a）•m（a）=1

B. ∀a∈R，M（a）+m（a）=2

C. ∃a₀∈R，M（a₀）+m（a₀）=1

D. ∃a₀∈R，M（a₀）•m（a₀）=2

Answer 1

y=(a2+asinx+2)/(a2+acosx+2)（x∈R），
即有a（sinx-ycosx）=（a²+2）（y-1），
即为a√(1+y2)sin（x-θ）=（a²+2）（y-1），θ为辅助角．
由x∈R，|sin（x-θ）|≤1，
可得|（a²+2）（y-1）|≤|a√(1+y2)|，
即有（a²+2）²•（y-1）²≤a²•（1+y²），
化简可得（a⁴+3a²+4）y²-2（a²+2）²y+（a⁴+3a²+4）≤0，
由于a⁴+3a²+4>0恒成立，
判别式4（a²+2）⁴-4（a⁴+3a²+4）²=4a²（2a⁴+7a²+8）>0恒成立，
即有不等式的解集为[m（a），M（a）]，
由韦达定理可得∀a∈R，m（a）•M（a）=1，
故选：A．