这道积分怎么证明设函数f(x)以T为周期,证明a+TT∫f(x)dx=∫f(x)dx(a为常数)a0前面定积分的上限为a+T,下限为a后面定积分的上限为T,下限为0
设函数f(x)以T为周期,证明
a+T T
∫ f(x)dx=∫ f(x)dx (a为常数)
a 0
前面定积分的上限为a+T,下限为a
后面定积分的上限为T,下限为0
证明如下：
a+T
∫ f(x)dx=
a
0 T a+T
=∫ f(x)dx+∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx.(1)
a 0 T
对上式最后一项,设x=T+t,则有：
a+T a a 0
∫ f(x)dx=∫ f(T+t)dt= ∫ f(t)dt=-∫ f(x)dx.(2)
T 0 0 a
把（2）代入（1）可得到：
a+T
∫ f(x)dx=
a
0 T 0
=∫ f(x)dx+∫ f(x)dx- ∫ f(x)dx
a 0 a
T
=∫ f(x)dx (a为常数) ,得证.
0
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