如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B-B1D-C的余弦值．

题目详情

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB₁．
因为B₁B=B₁A，所以OB₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，
所以AB⊥平面B₁OD，
因为OD⊂平面B₁OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
所以OD⊥BB₁，因为AB∩BB₁=B，
所以OD⊥平面ABB₁A₁．
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB，OD，OB₁两两垂直．以O为坐标原点，

的方向为x轴的方向，|

|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
由题设知B1(0，0，

)，D（0，1，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），C1(0，2，

)．
则

B1D

＝(0，1，−

)，

＝(2，2，0)，