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如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B-B1D-C的余弦值．
题目详情
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B1D-C的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．
因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．
又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，
所以AB⊥平面B1OD，
因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，
所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，
所以OD⊥平面ABB1A1．
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB，OD，OB1两两垂直．以O为坐标原点，
的方向为x轴的方向，|
|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
由题设知B1(0，0，
)，D（0，1，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），C1(0，2，
)．
则
＝(0，1，−
)，
＝(2，2，0)，
（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．
又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，
所以AB⊥平面B1OD，
因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，
所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，
所以OD⊥平面ABB1A1．
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB，OD，OB1两两垂直．以O为坐标原点，
| OB |
| OB |
由题设知B1(0，0，
| 3 |
| 3 |
则
| B1D |
| 3 |
| AC |
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