（2013•徐州一模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1．

Question

（2013•徐州一模）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝√(3)，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC₁D₁．

Answer 1

证明：（1）∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AA₁；
（2）是BD∩AC=O，则OC=(√(3))/(2)，
又DC=1，∴cos∠OCD＝(OC)/(DC)＝((√(3))/(2))/(1)=(√(3))/(2)，∴∠OCD=30°．
∵∠ACB=60°，∴∠BCD=90°．
∴DC⊥BC．
∵E为等边三角形的边BC的中点，∴AE⊥BC，∴DC∥AE．
∵AE⊄平面DCC₁D₁．DC⊂平面DCC₁D₁．
∴AE∥平面DCC₁D₁．