（2006•山东）如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平

Question

（2006•山东）如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a
（1）求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC∵BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁
又∵平面AB₁C⊥平面ABC，平面AB₁C∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面AB₁C，
∴BC⊥AB₁
∴B₁C₁⊥AB₁，
又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC，且BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线．

（Ⅱ）解法1：过A作AD⊥B₁C于D，
∵△AB₁C为正三角形，
∴D为B₁C的中点．
∵BC⊥平面AB₁C
∴BC⊥AD，
又B₁C∩BC=C，
∴AD⊥平面VBC，
∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离．
在正△AB₁C中，l．
∴点A到平面VBC的距离为√(3)a．
解法2：取AC中点O连接B₁O，则B₁O⊥平面ABC，且B₁O=√(3)a．
由（Ⅰ）知BC⊥B₁C，设A到平面VBC的距离为x，
∴VB1−ABC＝VA−BB1C，
即(1)/(3)×(1)/(2)BC•AC•B1O＝(1)/(3)×(1)/(2)BC•B1C•x，
解得x＝√(3)a．
即A到平面VBC的距离为√(3)a．
则d＝||

AB1

|•cos＜

作业帮用户 2016-11-25

为您推荐：

广告

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议