已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AD=DD1=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．（I）求证：BF⊥A1B1；（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD1C1．

Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

Answer 1

证明：（I）连结BD，B₁D₁，取AD的中点G，连结BG，
∵AD∥BC，BC⊥CD，AD=2，BC=1，
∴四边形BCDG是正方形，AG=BG=1，
∴BD=√(2)，AB=√(2)，
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴B₁B⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，
∴B₁B⊥AB，又BD⊂平面BDD₁B₁，B₁B⊂平面BDD₁B₁，BD∩B₁B=B，
∴AB⊥平面BDD₁B₁，∵BF⊂平面BDD₁B₁，
∴AB⊥BF，
又AB∥A₁B₁，
∴BF⊥A₁B₁．
（II）连结FG，
∵E，F为CC₁，DD₁的中点，
∴C₁D₁

∥

.

CD

∥

.

EF，又GB

∥

.

CD，
∴GB

∥

.

EF，∴四边形EFGB是平行四边形，
∴BE∥FG．
∵F，G分别是DD₁，AD的中点，
∴FG∥AD₁，
∴BE∥AD₁，
又BE⊂平面BEF，FE⊂平面BEF，BE∩EF=E，AD₁⊂平面AC₁D₁，C₁D₁⊂平面AC₁D₁，AD₁∩C₁D₁=D₁，
∴面BEF∥面AD₁C₁．