如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1，以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M

Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁，以M₁A₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M₁，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以M₂A₁为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…，依此类推，那么M₁的坐标为

（(1)/(2)，(1)/(2)）

（(1)/(2)，(1)/(2)）

；这样作的第n个正方形的对角线交点M_n的坐标为

(1-(1)/(2n)，(1)/(2n))或另一书写形式((2n-1)/(2n)，(1)/(2n))

(1-(1)/(2n)，(1)/(2n))或另一书写形式((2n-1)/(2n)，(1)/(2n))

．

Answer 1

因为正方形的边长为1，
则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
设OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x=(√(2))/(2)，
同理可求出OA₂=A₂M₁=(1)/(2)，A₂M₂=(√(2))/(4)，A₂A₃=(1)/(4)，…，
根据正方形对角线性质可得：M₁的坐标为（1-(1)/(2)，(1)/(2)），
故答案为：（(1)/(2)，(1)/(2)）；
同理得M₂的坐标为（1-(1)/(22)，(1)/(22)），
M₃的坐标为（ 1-(1)/(23)，(1)/(23)），
…，
依此类推：M_n坐标为（ 1-(1)/(2n)，(1)/(2n)）=((2n-1)/(2n)，(1)/(2n))，
故答案为：(1-(1)/(2n)，(1)/(2n))或另一书写形式(

作业帮用户 2017-09-19

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问题解析

根据正方形的性质得到OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，设OM₁=M₁A₁=x，由勾股定理得到方程x²+x²=1²，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的边长，进而得到M₁的坐标，M₂的坐标，…，依此类推可求出第n个正方形对角线交点M_n的坐标．

名师点评

本题考点：

正方形的性质；坐标与图形性质．

考点点评：

本题主要考查对正方形的性质，坐标与图形性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的数据得到规律是解此题的关键．

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