如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1⊥平面ABCD，∠D1DC=π3，E是A1D的中点，F是BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD

Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面DCC₁D₁是菱形，且平面DCC₁D₁⊥平面ABCD，∠D₁DC=(π)/(3)，E是A₁D的中点，F是BD₁的中点．

（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若M是CD的中点，求证：平面D₁AM⊥平面ABCD．

Answer 1

证明：（1）连结AD₁，
∵四边形AA₁D₁D是平行四边形，E是A₁D的中点，
∴E是AD₁的中点，又F是BD₁的中点，
∴EF∥AB，
又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）连结CD₁．
∵四边形CDD₁C₁是菱形，∠D₁DC=(π)/(3)，
∴△D₁DC是等边三角形，
∵M是CD的中点，
∴D₁M⊥CD，又平面DCC₁D₁⊥平面ABCD，平面DCC₁D₁∩平面ABCD=CD，
∴D₁M⊥平面ABCD，又D₁M⊂平面D₁AM，
∴平面D₁AM⊥平面ABCD．