已知xy为正实数,且xa1a2y成等差数列,xb1b2y成等比数列,则(a1+a2)^2/(b1b2）的取值范围是?

Question

已知x y为正实数,且x a1 a2 y成等差数列,x b1 b2 y成等比数列,则(a1+a2)^2/(b1b2）的取值范围是?

Answer 1

由x a1 a2 y成等差数列可知 x+y=a1+a2; 由x b1 b2 y成等比数列可知 xy=b1b2,因此
(a1+a2)^2/(b1b2)=(x+y)^2/(xy).
因为x,y都是正实数,所以由均值不等式,x^2+y^2>=2xy,从而(x+y)^2=x^2+y^2+2xy>=4xy,(x+y)^2/(xy)>=4,等号成立当且仅当x=y.
因此 (a1+a2)^2/(b1b2）的取值范围是[4,正无穷).