设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn．

Question

设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n，b_n．

Answer 1

∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=√(bnbn+1)③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=√(bn−1bn)+√(bnbn+1)．
∵b_n＞0，
∴2√(bn)=√(bn−1)+√(bn+1)，
∴{√(bn)}是等差数列．
设数列{√(bn)}的公差为d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=(9)/(2)．
∴√(b1)=√(2)，√(b2)=(3√(2))/(2)，
d=(√(2))/(2)．
∴√(bn)=(n+1)/(2)√(2)，
∴b_n=((n+1)2)/(2)．
a_n=√(bn−1bn)=(n(n+1))/(2)．