（2014•淮安模拟）如果数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=0且|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1（n≥3，n∈N*），则称数列{an}为n阶“归化数列”．（1）若某4阶“归化数列”{an}是等比数列，写出该数列的各项；（2

Question

（2014•淮安模拟）如果数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=0且|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1（n≥3，n∈N^*），则称数列{a_n}为n阶“归化数列”．
（1）若某4阶“归化数列”{a_n}是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化数列”{a_n}是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若{a_n}为n阶“归化数列”，求证：a₁+(1)/(2)a₂+(1)/(3)a₃+…+(1)/(n)a_n≤(1)/(2)-(1)/(2n)．

Answer 1

（1）设a₁，a₂，a₃，a₄成公比为q的等比数列，显然q≠1，则由a₁+a₂+a₃+a₄=0，
得(a1(1−q4))/(1−q)＝0，解得q=-1．
由|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=1，得4|a₁|=1，解得a1＝±(1)/(4)．
∴数列(1)/(4)，−(1)/(4)，(1)/(4)，−(1)/(4)或−(1)/(4)，(1)/(4)，−(1)/(4)，(1)/(4)为所求四阶“归化数列”；
（2）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a₁₁的公差为d，
由a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=0，得：
11a1+(11×10d)/(2)＝0，
∴a₁+5d=0，即a₆=0，
当d=0时，与归化数列的条件相矛盾，
当d＞0时，由a1+a2+…+a5＝−(1)/(2)，a6＝0，得：

5a1+10d＝−(1)/(2)

a1+5d＝0

，解得d＝(1)/(30)，a1＝−(1)/(6)，
∴an＝−(1)/(6)+(n−1)/(30)＝(n−6)/(30)(n∈N*，n≤11)．
当d＜0时，由a1+a2+…+a5＝(1)/(2)，a6＝0，得：