如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，AB⊥AC，D为BC中点．AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求证：A1B⊥平面AB1C；（Ⅲ）在线段B1C上是否存在点E，使得BC⊥AE？请说明理由

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，AB⊥AC，D为BC中点．AB₁与A₁B交于点O．

（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求证：A₁B⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）在线段B₁C上是否存在点E，使得BC⊥AE？请说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结OD．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
因为 AB=AA₁，
所以 四边形AA₁B₁B为正方形，
所以 O为A₁B中点．
因为 D为BC中点，
所以 OD为△A₁BC的中位线，
所以 OD∥A₁C．
因为 A₁C⊄平面AB₁D，OD⊂平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AC⊥AA₁，AA₁∩AB=A，
所以 AC⊥平面AA₁B₁B，
所以AC⊥A₁B．
在正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，AC∩AB₁=A
所以 A₁B⊥平面AB₁C．…（9分）
（Ⅲ） 存在
取B₁C中点E，连结DE，AE．
所以DE∥BB₁．
所以DE⊥BC．
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC．
因为AD∩DE=D，
所以BC⊥平面ADE．
所以BC⊥AE．
所以 当E为B₁C中点时，BC⊥AE．…（14分）