已知正四棱锥ABCD―A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值,最好有图,

Question

已知正四棱锥ABCD―A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值,最好有图,

Answer 1

题目说明应该是正四棱柱,亦即长方体AA1=AB,如图.

找出底面正方形对角线BD的中点M,连MC1、MC,作CP⊥MC1于P,连结PD；

因M是BD的中点,∴CM⊥BD,C1M⊥BD,∴BD⊥PC；

又据作图 CP⊥MC1,∴CP⊥平面BDC1,所以∠CDP就是CD与平面BDC1的夹角；

∵CM=BD/2=AB/√2,MC1=√(MC²+CC1²)=√(0.5AB²+4AB²)=√4.5 AB；

在△MCC1中,CP=CM*CC1/MC1=(AB/√2)*(2AB)/(√4.5 AB)=2AB/3；

sin∠CDP=CP/CD=(2AB/3)/AB=2/3；