（2014•湖北）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．

Question

（2014•湖北）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD₁、BB₁、A₁B₁、A₁D₁的中点，求证：
（Ⅰ）直线BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直线AC₁⊥平面PQMN．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接AD₁，
∵AD₁∥BC₁，且F、P分别是AD、DD₁的中点，
∴FP∥AD₁，∴BC₁∥FP，
又FP⊂平面EFPQ，且BC₁⊄平面EFPQ，
∴直线BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）如图，
连接AC、BD，则AC⊥BD，∵CC₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴CC₁⊥BD；
又AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁，
又AC₁⊂平面ACC₁，∴BD⊥AC₁；
又∵M、N分别是A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴MN∥BD，∴MN⊥AC₁；
同理可证PN⊥AC₁，
又PN∩MN=N，∴直线AC₁⊥平面PQMN．