如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足A1P＝λA1B1．（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？（2）若

Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

＝λ

A1B1

．
（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？
（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

（1）以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则

PN

＝((1)/(2)−λ，(1)/(2)，−1)，易得平面ABC的一个法向量为

n

＝(0，0，1)
则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：
sinθ＝|cos＜

PN

，

n

＞|＝(|PN•n|)/(|PN||n|)＝(1)/(√((λ−(1)/(2))2+(5)/(4)))（*），于是问题转化为二次函数求最值，
而θ∈[0，(π)/(2)]，当θ最大时，sinθ最大，
所以当λ＝(1)/(2)时，(sinθ)max＝(2√(5))/(5)，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．
（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
即可得到平面ABC的一个法向量为

n

＝

AA1

＝(0，0，1)，
设平面PMN的一个法向量为

m

＝(x，y，z)，

MP

＝(λ，−1，(1)/(2))．
由

m

•

NP

＝0

m

•

MP

＝0

得

(λ−(1)/(2))x−(1)/(2)y+z＝0

λx−y+(1)/(2)z＝0

，解得

y＝(2λ+1)/(3)x

z＝(2(1−λ))/(3)x

．
令x=3，得

m

＝(3，2λ+1，2(1−λ))，于是
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|＝(|m•n|)/(|m||n|)＝(|2(1−λ)|)/(√(9+(2λ+1)2+4(1−λ)2))＝(√(2))/(2)，
解之得：λ＝−(1)/(2)，故点P在B₁A₁的延长线上，且|A1P|＝(1)/(2)．