已知椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆标准方程；（2）过B1作直线l交椭

Question

已知椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（1）求椭圆标准方程；
（2）过B₁作直线l交椭圆于P，Q，且以线段PQ为直径的圆过点B₂，求直线l的方程与△PB₂Q的面积．

Answer 1

（1）设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）．
∵上顶点为A，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
∴(1)/(2)|B1B2||OA|=(1)/(2)×c×b=4，且b＝(1)/(2)c，解得b=2，c=4，∴a²=b²+c²=20．
∴椭圆标准方程为(x2)/(20)+(y2)/(4)＝1．
（2）B₁（-2，0）．
当l与x轴重合时，不符合题意．
设直线l的方程为x+2=my，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

x+2＝my

x2+5y2＝20

，化为（5+m²）y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=(4m)/(5+m2)，y₁y₂=(−16)/(5+m2)
∵以PQ为直径的圆恰好经过B₂（2，0），
∴PB₂⊥QB₂，
∴

B2P

•

B2Q

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y