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已知椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求椭圆标准方程;(2)过B1作直线l交椭
题目详情
已知椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求椭圆标准方程;
(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q,且以线段PQ为直径的圆过点B2,求直线l的方程与△PB2Q的面积.
(1)求椭圆标准方程;
(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q,且以线段PQ为直径的圆过点B2,求直线l的方程与△PB2Q的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)设椭圆的方程为
+
=1(a>b>0).
∵上顶点为A,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
∴
|B1B2||OA|=
×c×b=4,且b=
c,解得b=2,c=4,∴a2=b2+c2=20.
∴椭圆标准方程为
+
=1.
(2)B1(-2,0).
当l与x轴重合时,不符合题意.
设直线l的方程为x+2=my,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立
,化为(5+m2)y2-4my-16=0,
∴y1+y2=
,y1y2=
∵以PQ为直径的圆恰好经过B2(2,0),
∴PB2⊥QB2,
∴
•
=(x1-2,y1)•(x2-2,y2)
=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵上顶点为A,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴椭圆标准方程为
x2 |
20 |
y2 |
4 |
(2)B1(-2,0).
当l与x轴重合时,不符合题意.
设直线l的方程为x+2=my,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立
|
∴y1+y2=
4m |
5+m2 |
−16 |
5+m2 |
∵以PQ为直径的圆恰好经过B2(2,0),
∴PB2⊥QB2,
∴
B2P |
B2Q |
=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y
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