已知不等式ax2+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集，则a2+b2-2b的取值范围是[−45，+∞)[−45，+∞)．

Question

已知不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集，则a²+b²-2b的取值范围是

[−(4)/(5)，+∞)

[−(4)/(5)，+∞)

．

Answer 1

不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集等价于：
b²-4a²≤0且a＞0，b＞0
得（b+2a）（b-2a）≤0，且a＞0，b＞0
即：b+2a与b-2a异号且a＞0，b＞0
不难画出点P（a，b）的可行域，
记A（0，1），|PA|²=a²+（b-1）²，a²+b²-2b=|PA|²-1，
|PA|的最小值即A点到直线b-2a=0的距离为(√(5))/(5)．
故：a²+b²-2b∈[−(4)/(5)，+∞）．
故答案为：[−(4)/(5)，+∞)．