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向量问题,过程平面上的两个向量OA,OB满足|OA|=a,|OB|=b,且a2+b2=4,向量OA*向量OB=0,若向量OC=λ向量OA+μ向量OB(λ、μ∈R),且(λ-1/2)2a2+(μ-1/2)2b2=1,则|OC|的最大值为_____
题目详情
向量问题,过程
平面上的两个向量OA,OB满足|OA|=a,|OB|=b,且a2+b2=4,向量OA*向量OB=0,若向量OC=λ向量OA+μ向量OB(λ、μ∈R),且(λ-1/2)2a2+(μ-1/2)2b2=1,则|OC|的最大值为_____
平面上的两个向量OA,OB满足|OA|=a,|OB|=b,且a2+b2=4,向量OA*向量OB=0,若向量OC=λ向量OA+μ向量OB(λ、μ∈R),且(λ-1/2)2a2+(μ-1/2)2b2=1,则|OC|的最大值为_____
▼优质解答
答案和解析
∵向量OA*向量OB=0,
∴|OC|²=λ²|OA|²+μ²|OB|²+2λμOA·OB
= (λa)²+(μb)²
∵a²+b²=4,a=2cosα,b=2sinα
∵(λ-1/2)²a²+(μ-1/2)²b²=1
(λ-1/2)a=cosβ,(μ-1/2)b=sinβ
λa=cosβ+cosα,μb=sinβ+sinβ
∴ (λa)²+(μb)² =(cosβ+cosα)²+(sinβ+sinβ)²
=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)
=2+2cos(α-β)≤4
∴|OC|≤2,则|OC|的最大值为2
∴|OC|²=λ²|OA|²+μ²|OB|²+2λμOA·OB
= (λa)²+(μb)²
∵a²+b²=4,a=2cosα,b=2sinα
∵(λ-1/2)²a²+(μ-1/2)²b²=1
(λ-1/2)a=cosβ,(μ-1/2)b=sinβ
λa=cosβ+cosα,μb=sinβ+sinβ
∴ (λa)²+(μb)² =(cosβ+cosα)²+(sinβ+sinβ)²
=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)
=2+2cos(α-β)≤4
∴|OC|≤2,则|OC|的最大值为2
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