若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2且anbn+bn=nbn+1．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn=an+1bn+1，数列{cn}的前n项和为Tn，则Tn<4．

Question

若数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2且a_nb_n+b_n=nb_n+1．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=(an+1)/(bn+1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，则T_n<4．

Answer 1

（1）∵b₁=1，b₂=2且a_nb_n+b_n=nb_n+1．∴n=1时，a₁+1=2，解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴2nb_n=nb_n+1，即2b_n=b_n+1，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2．
∴b_n=2^n-1．
（2）c_n=(an+1)/(bn+1)=(2n)/(2n)=(n)/(2n-1)，
数列{c_n}的前n项和为T_n=1+(2)/(2)+(3)/(22)+…+(n)/(2n-1)，
(1)/(2)Tn=(1)/(2)+(2)/(22)+…+(n-1)/(2n-1)+(n)/(2n)，
∴(1)/(2)T_n=1+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n-1)-(n)/(2n)=(1-(1)/(2n))/(1-(1)/(2))-(n)/(2n)，
∴T_n=4-(2+n)/(2n-1)<4．