已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+2n-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求1b3+1b4+1b5+…+1bn的值．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+2n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求(1)/(b3)+(1)/(b4)+(1)/(b5)+…+(1)/(bn)的值．

Answer 1

（1）∵Sn＝3n，∴Sn−1＝3n−1，(n≥2)，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1，（n≥2）
当n=1时，a1＝s1＝3≠2×30，
∴a_n=

3，n＝1

2•3n−1，n≥2

．
（2）∵b_n+1=b_n+2n-1
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3
以上各式相加得：
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）
=((n−1)(1+2n−3))/(2)＝(n−1)2，
∵b₁=-1，∴bn＝n2−2n．
（3）∵(1)/(bn)＝(1)/(n2−2n)＝(1)/(2)((1)/(n−2)−(1)/(n))（n≥3）
∴(1)/(b3)+(1)/(b4)+(1)/(b5)+…+(1)/(bn)＝(1)/(2)((1)/(3−2)−(1)/(3)+(1)/(4−2)−(1)/(4)+(1)/(5−2)−(1)/(5)+…+(1)/(n−2)−(1)/(n))
=

作业帮用户 2017-10-25