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已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1，该条件是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件？证明你的结论．
题目详情
已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1，该条件是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件？证明你的结论．
▼优质解答
答案和解析
证明：若a2-b2=1，则a4-b4-2b2=（a2-b2）（a2+b2）-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立．即a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1．
若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-（b4+2b2+1）=0，
∴a4-（b2+1）2=0，
∴（a2+b2+1）（a2-b2-1）=0，
∵a2+b2+1≠0，
∴a2-b2-1=0，
即a2-b2=1成立．即a2-b2=1是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件．
综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-（b4+2b2+1）=0，
∴a4-（b2+1）2=0，
∴（a2+b2+1）（a2-b2-1）=0，
∵a2+b2+1≠0，
∴a2-b2-1=0，
即a2-b2=1成立．即a2-b2=1是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件．
综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
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