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若Sn为数列{an}的前n项和且Sn=n2+3n,若{bn}为等比数列且b2=4,b5=32.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=an•bn,Tn数列{cn}的前n项和,求Tn.
题目详情
若Sn为数列{an}的前n项和且Sn=n2+3n,若{bn}为等比数列且b2=4,b5=32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an•bn,Tn数列{cn}的前n项和,求Tn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an•bn,Tn数列{cn}的前n项和,求Tn.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵Sn=n2+3n,∴当n=1时,a1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2,当n=1时,上式也成立.
∴an=2n+2.
设等比数列{bn}的公比为q,∵b2=4,b5=32.
∴
,解得b1=q=2,
∴bn=2n.
(2)cn=an•bn=(2n+2)•2n=(n+1)•2n+1.
∴数列{cn}的前n项和Tn=2×22+3•23+4×24…+(n+1)•2n+1.
2Tn=2×23+3×24+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2,
∴-Tn=8+23+24+…+2n+1-(n+1)•2n+2=4+
-(n+1)•2n+2=-n×2n+2,
∴Tn=n×2n+2.
∴an=2n+2.
设等比数列{bn}的公比为q,∵b2=4,b5=32.
∴
|
∴bn=2n.
(2)cn=an•bn=(2n+2)•2n=(n+1)•2n+1.
∴数列{cn}的前n项和Tn=2×22+3•23+4×24…+(n+1)•2n+1.
2Tn=2×23+3×24+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2,
∴-Tn=8+23+24+…+2n+1-(n+1)•2n+2=4+
4(2n-1) |
2-1 |
∴Tn=n×2n+2.
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