若Sn为数列{an}的前n项和且Sn=n2+3n，若{bn}为等比数列且b2=4，b5=32．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=an•bn，Tn数列{cn}的前n项和，求Tn．

Question

若S_n为数列{a_n}的前n项和且S_n=n²+3n，若{b_n}为等比数列且b₂=4，b₅=32．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，T_n数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

（1）∵S_n=n²+3n，∴当n=1时，a₁=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+3n）-[（n-1）²+3（n-1）]=2n+2，当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2n+2．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵b₂=4，b₅=32．
∴

b1q=4

b1q4=32

，解得b₁=q=2，
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+2）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺¹．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×2²+3•2³+4×2⁴…+（n+1）•2ⁿ⁺¹．
2T_n=2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=8+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²=4+(4(2n-1))/(2-1)-（n+1）•2ⁿ⁺²=-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=n×2ⁿ⁺²．