设｛an}是等差数例,｛bn｝是各项都是正数的等比数例,且a1=b1=1,b5+a3=21,a5+b3=13（1）求数例｛an｝、｛bn}的通项公式（2）求数例｛an/bn｝的前n项和

Question

设｛an}是等差数例,｛bn｝是各项都是正数的等比数例,且a1=b1=1,b5+a3=21,a5+b3=13
（1）求数例｛an｝、｛bn}的通项公式
（2）求数例｛an/bn｝的前n项和

Answer 1

（1）设等差数列{an}的公差为d,
等比数列{bn}的公比为q,
∵等比数列{bn}的各项都是正数,
∴q>0.
由等差数列,等比数列的通项公式可知,
a3=a1+2d,a5=a1+4d,
b3=b1q²,b5=b1q^4,
∴由题中的条件可知,
q^4+ 1+2d=21且1+4d +q²=13,
即q^4+2d=20且4d +q²=12,
2d=20 -q^4且4d =12-q²,
消去d,得
2(20 -q^4)=12-q²,
2q^4-q²-28=0
(2q²+7)(q²-4)=0
∴q²=4,q=2,(负值舍去)
代入4d +q²=12,得d=2,
∴等差数列{an}的通项公式为an=2n-1,
等比数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1),n∈N*.
（2）运用错位相减法,
记数列{anbn}的前n项和为Sn,
则Sn=1×1+3×2+5×4+…+(2n-1)×2^(n-1),
∴2 Sn= 1×2+3×4+5×8+…+(2n-3)×2^(n-1)+(2n-1) ×2^n,
两式相减,得
-Sn=1×1+2×2+2×4+…+2×2^(n-1)- (2n-1) ×2^n,
=2×1+2×2+2×4+…+2×2^(n-1)-1- (2n-1) ×2^n,
=2[1+2+4+…+2^(n-1)]-1- (2n-1) ×2^n,
=2(2^n-1) -1- (2n-1) ×2^n,
=3×2^n-3-n×2^(n+1),
∴Sn= n×2^(n+1)+3-3×2^n.