数列{an}满足an-an+1=an•an+1（n∈N+），数列{bn}满足bn=1an，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b5的最大值是．

Question

数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_n•a_n+1（n∈N⁺），数列{b_n}满足b_n=(1)/(an)，且b₁+b₂+…+b₉=90，则b₄•b₅的最大值是___．

Answer 1

∵a_n-a_n+1=a_n•a_n+1（n∈N⁺），
∴(1)/(an+1)-(1)/(an)=1，
∵数列{b_n}满足b_n=(1)/(an)，
∴数列{b_n}是公差为1的等差数列，
∵b₁+b₂+…+b₉=90，
∴9b1+(9×8)/(2)×1=90，解得b₁=6，
∴b_n=6+（n-1）×1=n+5，
∴b₄+b₅=（4+5）+（5+5）=19，又b_n>0，
∴b₄•b₅≤（(b4+b5)/(2)）²=（(19)/(2)）²=(361)/(4)．
故答案为：(361)/(4)．