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已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,3,….试比
题目详情
已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,3,….试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,3,….试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2=
=9,q=±3.
①当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,
这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
②当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.
∴an=a1qn-1=2×3n-1
设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26,
得4b1+
d=26,结合b1=2,解之得d=3,
所以bn=bn+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1
综上所述,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2×3n-1、bn=3n-1;
(2)∵b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,
∴Pn=nb1+
•3d=
n2-
n;
同理可得:b10,b12,b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,且b10=29,
∴Qn=nb10+
•2d=3n2+26n.
因此,Pn-Qn=(
n2-
n)-(3n2+26n)=
n(n-19).
所以对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;当n=19时,Pn=Qn;当n≤18时,Pn<Qn.
a3 |
a1 |
①当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,
这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
②当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.
∴an=a1qn-1=2×3n-1
设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26,
得4b1+
4×3 |
2 |
所以bn=bn+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1
综上所述,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2×3n-1、bn=3n-1;
(2)∵b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,
∴Pn=nb1+
n(n−1) |
2 |
9 |
2 |
5 |
2 |
同理可得:b10,b12,b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,且b10=29,
∴Qn=nb10+
n(n−1) |
2 |
因此,Pn-Qn=(
9 |
2 |
5 |
2 |
3 |
2 |
所以对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;当n=19时,Pn=Qn;当n≤18时,Pn<Qn.
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