设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足bn=anan+m(m∈N*)．（Ⅰ）若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；（Ⅱ）是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差数列？若存

Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=n²，数列{b_n}满足b_n=(an)/(an+m)(m∈N*)．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈成等比数列，试求m的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得数列{b_n}中存在某项b_t满足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为S_n=n²，所以当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又当n=1 时，a₁=S₁=1，适合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^* ）…（4分）
所以bn＝(2n−1)/(2n−1+m) 
则b1＝(1)/(1+m)，b2＝(3)/(3+m)，b8＝(15)/(15+m) 
由b₂²=b₁b₈，
得((3)/(3+m))2＝(1)/(1+m)×(15)/(15+m) 
解得m=0 （舍）或m=9 
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假设存在m 
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，
则2×(7)/(7+m)＝(1)/(1+m)+(2t−1)/(2t−1+m) 
化简得t＝7+(36)/(m−5) …（12分）
所以当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 时，
分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 适合题意，
即存在这样m，且符合题意的m 共有9个 …（14分）