已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列；数列{bn}是公比为2的等比数列，且{bn}的前4项的和为152．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若d=3，求数列{an}中满足b8≤ai≤b9（i∈N*）的所有项ai的

Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列；数列{b_n}是公比为2的等比数列，且{b_n}的前4项的和为(15)/(2)．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若d=3，求数列{a_n}中满足b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*）的所有项a_i的和；
（3）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，若T_n的最大值为T₅，求公差d的取值范围．

Answer 1

（1）∵数列{b_n}是公比为2的等比数列，且{b_n}的前4项的和为(15)/(2)．
b₁+2b₁+4b₁+8b₁=(15)/(2)，
解得b₁=(1)/(2)，
∴b_n=2^n-2．…（5分）
（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，
∵数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-2
∵b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），∴64≤3i-2≤128，
解得，22≤i≤(130)/(3)，
又i属于N^*，22≤i≤43，
a₂₂=64，a₄₃=127，
∴S=a₂₂+a₂₃+…+a₄₃
=(22)/(2)（64+127）=2101，
∴满足条件的所有项a_i的和为2101．…（12分）
（3）∵bn＝2n−1＞0，若d≥0，则a_n＞0，
∴c_n=a_n•b_n＞0，此时T_n无最大项，
∴d＜0，…（12分）
此时{a_n}单调递减，欲T_n的最大项为T₅，
则必有c₅≥0，c₆≤0，即a₅≥0，a₆≤0，…（14分）
又a_n=1+（n-1）d，∴

1+4d≥0

1+5d≤0

，
解得−(1)/(4)≤d≤−(1)/(5)．…（16分）